Conocer espacio libre en memoria interna del teléfono

Sin rodeos:

File path = Environment.getDataDirectory();
StatFs stat = new StatFs(path.getPath());
long blockSize = stat.getBlockSize();
long availableBlocks = stat.getAvailableBlocks();
return Formatter.formatFileSize(this, availableBlocks * blockSize);

Por su puesto, on StatFs podemos conseguir información de una ruta concreta, por ejemplo

StatFs stats = new StatFs("/data");
[...]